Arana Andrew

Projet de recherche

Pureté des méthodes

Résumé du projet

Ce projet vise à produire une monographie de recherche sur la pureté des méthodes, une question clé dans la philosophie des mathématiques. L’un des principaux objectifs de la pratique mathématique est de prouver des théorèmes. Une contrainte minimale sur la preuve est la solidité logique, pour s’assurer qu’elle justifie la croyance en la vérité du théorème en question. Mais les mathématiciens utilisent souvent d’autres contraintes pour atteindre d’autres objectifs, tels que la recherche de l’efficacité de la preuve.

Ce projet se concentre sur l’une de ces contraintes, la pureté des méthodes. En gros, une preuve d’un théorème est « pure » si elle ne s’appuie que sur ce qui est « proche » ou « intrinsèque » à ce théorème. Le souci de pureté remonte à l’Antiquité : Aristote énonce une version de la contrainte pour ses démonstrations. Elles ont été largement citées dans les discussions sur la géométrie analytique, la méthode de Descartes pour transférer les problèmes de la géométrie à l’algèbre, puis inversement, de sorte que les méthodes algébriques et géométriques puissent être employées dans cette procédure de résolution. Ils restent d’actualité aujourd’hui, dans les discussions sur la théorie analytique des nombres et la géométrie algébrique.

Dans chaque cas, la question est de savoir si les connaissances produites par les preuves sont influencées, positivement ou négativement, par le « mélange » des domaines mathématiques. Bien que les mathématiciens soient très conscients de cette contrainte, certains la favorisant activement et d’autres s’y opposant, ils ont du mal à expliquer les raisons de leurs opinions. C’est parce que cette question nécessite une analyse philosophique, et c’est précisément ce à quoi contribue le projet que je propose.

Mon projet s’articule donc autour de deux questions centrales : 1) comment mesurer la distance entre la preuve et le théorème ; et 2) pourquoi les mathématiciens accordent de l’importance à la pureté (et s’ils sont rationnels en le faisant).

Pour répondre à ces questions, il est essentiel de travailler sur la signification des mathématiques et de réaliser des études de cas minutieuses qui révèlent plus précisément comment cette contrainte est utilisée dans la pratique. Ce projet s’inscrit donc parfaitement dans le nouveau domaine de recherche appelé philosophie de la pratique mathématique, qui vise à analyser et à réfléchir sur les mathématiques en tant qu’activité humaine, de l’antiquité à nos jours. Les travaux dans ce domaine, comme les miens, sont essentiellement interdisciplinaires et rassemblent des travaux issus de la philosophie, de l’histoire, des mathématiques, de l’informatique et de la psychologie, entre autres. Jusqu’à présent, cependant, il n’y a pas eu de monographie approfondie sur ce sujet.

Ma proposition vise donc à remédier à cette lacune en produisant une monographie qui pourra servir de point de départ pour ceux qui s’intéressent à ce sujet. Le résultat attendu de cette bourse est donc une telle monographie, qui sera soumise à une grande maison d’édition pour publication.